重いものほど速く落ちるんじゃない？の編集

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[ [[前野昌弘]] ]

小学校の理科の時間に誰もが一度は教わる
 重いものも軽いものも落ちる速度は同じ
は厳密には正しくない。これは地球に小石を落とす場合のように、一方の質量が十分に他方よりも大きい場合のみ成り立つこと。言い換えれば近似値でしかない。2つの物体の運動は本来
 (d^2r/dt^2)=G(M+m)/r^2
で表わされる。ただしMがmより十分大きい場合、M+m≒Mと近似できるから
 (d^2r/dt^2)=-GM/r^2
となる。例えば小石を地球に落とす場合、Mが地球の質量でありmが小石の質量となる。近似後の識から小石の質量mは消える。

これについては[[物理Tips:重い物体も軽い物体も同時に落ちるって本当？:http://homepage3.nifty.com/iromono/PhysTips/fall.html]]のサイトが説明しているから詳細は割愛するが、このサイトの記述自体もあまり適切とは言えない部分がある。前半は文句なく正しい。問題なのは「予想される反論」以降の部分である。

・万有引力をmで割って加速度を出すとmに無関係になるという計算はどこがいけないのか？
 いけなくない。実は、もし最初に提示した文章が「重い物体も軽い物体も加速度は等しい」
 であったなら、それは反論の余地なく正しい。その加速度がrの２階微分であると考えるところに
 問題がある。

彼が「反論の余地なく正しい」という「重い物体も軽い物体も加速度は等しい」は、そもそも重要な条件が、よくいえば曖昧、悪くいえば欠如している。すなわち「何に対して等しいのか」という点である。時間なのか、2つの物体の距離なのか、重心を原点とする位置なのか。2つの物体に働く万有引力は2つの物体の質量の積に比例し、距離の二乗に反比例する。この部分の文章は、それを「反論の幼稚なく正しい」といっているのだろう。もちろんこれは反論の余地なく正し。しかしそれならば「思い物体も軽い物体も、距離に対して加速度は等しい」と書く必要がある。

では距離以外に何が考えられるか？時間である。加速度とは時間に基づく概念だからこれは極めて自然なことであり、むしろこちらの方が一般人の感覚に沿ったものではないだろうか。10秒後の加速度は重い物体と軽い物体では同じではない。1メートル離れた物体の加速度は重い物体も軽い物体も同じであるにもかかわらず、だ。

これは2つの物体の距離は自分が動く分の他に相手が動く分が含まれていることによる。小石が地球に向かって落下すると同時に、地球もまた小石に引き寄せられる。地球を引き寄せる速度は重い小石と軽い小石では違う。そのため2つの物体の距離の縮まり方は同一ではなくなる。このことを別な表現で述べているのが、続く
 初速度０で考えた場合、ｒ（地球と物体の間の距離）は減少していくが、 その原因には物体の
 運動によるものと地球の運動によるものがある。万有引力をmで割って、という計算で表される
 加速度は物体の運動に関係するが、地球の加速度は別の計算（万有引力をMで割る）が必要
 なのである。そしてこの二つの和がrの２階微分となる。つまり、物体の加速度は同じでも
 地球の加速度は違うということ
であり、「時間に対しては同じではない」に対応するのが
 （さらに、落下するまでの時間には両方が関係すること）
の部分になる。彼の主張は物理学的にはもちろん正しい。しかし何に対して等しいのか？という側面を曖昧にしているため、
 重い物体も軽い物体も加速度は等しい
が
 落下するまでの時間には両方が関係する(から等しくない)
という意味の不鮮明な文章になってしまっている。
 地球との距離が同じであれば、地球が及ぼす加速度は鉛の塊に対しても軽石に対しても等しい。
 しかし10秒後の加速度は、軽石よりも鉛の塊の方が大きい。
 なぜなら鉛の塊の方が地球をより強く自分の方に引き寄せるため、
 地球との距離が急激に縮まるからである。
こう書いた方が簡潔かつ直感的であろう。

2つの物体に働く力は距離の二乗に反比例するのだから当然である。地表付近で小石を落とす場合、落下距離が2つの物体間の距離(ほぼ地球の半径に相当する)の変化はわずかであるため、重力加速度は秒速9.8mという定数で扱われるが、実際には落下するしたがって加速度は増加し、重いものと軽いものではその増加の割合が違うのである。

こうしたことにふれていないため、彼の説明は分かりにくくなってしまっている。もとより相手が力学を学んだ人間であればこれらは説明するまでもないことなのだから、求められるのは力学から縁遠い人に対して直感的に理解されやすい説明であろう。その点からいえば彼の説明は「すでに分かっている人には分かるが、分からない人には分からない」不適切な説明といわざるをえない。

***別解 [#m357447c]
小石が落下する速度は月と地球ではどちらが大きいだろうか。これは宇宙飛行士の月面での活動の様子を見れば一目瞭然だが、月は遅く地球は速い。物が落下する速度は相手の質量が大きい方が大きいのである。小石もまた質量を持っているので、ごくわずかではあるが地球を引き寄せる。そして重い小石の方がより速く地球を引き寄せる。つまり小石と地球はお互い相手に向かって落下するという点が考慮されなければならない。

小石の地球に対する落下速度は小石の重さにかかわらず一定だが、地球の小石に対する落下速度は重い小石の方が大きくなる。相手が小石だとイメージがわきにくいが、小石が惑星や恒星クラスになった場合を想像すればよいだろう。結果として地球の移動量の分、重い小石の方が地球と小石の距離は速く縮まっていく。

ここで注意したいのは、距離は速く縮まるが小石の加速度は重くても軽くても同じだと考えるのは間違いであること。小石の加速度も重い小石の方が大きい。これは地球が速く接近するため、地球が小石に及ぼす引力が速く増加することによる。それゆえ重い小石の方が加速度の増大する割合が大きく、急激に速度を増していく。

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