モンティーホールジレンマ

3つの中から1つの正解を選ぶ。しかも出題者は途中で選択を変えてもよいと誘惑する。はたして変えるのが得策か愚策か。数学的な確率が人間の直感に反する有名な問題がモンティーホールジレンマ。山本弘はこの問題を聞きかじって自分の作品のネタにしているが、数学的な意味を理解しないままアレンジしたために、間違った結果となってしまっている。

こんなにヘンだよ　チャリス・イン・ハザード

説明 †

山本弘氏の同人誌に「チャリス・イン・ハザード1 魔島からの脱出」という作品があり、
その中でモンティーホール・ジレンマを使ったエピソードがある。
ところが山本弘氏は浅い理解でアレンジを行ったため解説が誤りとなってしまっているらしい。

モンティーホール・ジレンマ †

あなたが、3つのドアの1つを選んで賞品を獲得するゲーム番組に出ているとします。
ドアの1つには賞品の車があります。残りの2つのドアはハズレでヤギがいます。
あなたがドアの１つ、たとえば１番ドアを選びます。
司会者は、それらのドアに何があるかを知っており、ヤギのドアを１つ、例えば３番ドアを開けてみせます。
そこで司会者があなたに、「２番ドアに変更してもいいですよ」といいました。
２番ドアに変えたほうがいいのでしょうか。

モンティーホール・ジレンマの確率計算 †

分りやすく真ん中がアタリのケースのみを考える。他のケースも考え方は同じ。

全体としては勝率は3/6=1/2だが、「勝ち」の分布には偏りがあり、チェンジしない場合の勝率は1/3。
チェンジする場合の確率は2/3。したがってチェンジした方が有利、となる。

チャリスバージョン †

出題はビデオテープの映像で行われ、出題者の振る舞いは予め決定されている。
チャリスは右、中央、左の3つの内から正解を1つ選ぶ。
チャリスが選んだ後に出題者はハズレのカードを1つ示す。
もしチャリスがこのカードを選んでしまっていた場合、その時点でチャリスの負けとなる。
その後、チャリスに残りの1つに選択を変えるかを質問。

チャリスは最初に中央を選択。
出題者は左のカードをオープン。
チャリスは右に変更。
結果外れ。
勝者は出題者。

チャリスの考え †

「カードは二枚しかないんだ。どっちを選ぼうと、確率は二分の一じゃないか」
『それは最初からカードが二枚しかないい場合だよ。ねえ、よく聞いて。
　まだ三枚のカードが伏せられた状態では、ボクの選ばなかったカード
　----両端のカードのどちらかがハートである確率は三分の二だよね？』
「ああ、それが？」
『つまり、もしカードを二枚選んでいいんだったら、
　一枚選ぶより他の二枚を選ぶ方が、ハートの出る確率は高くなる』
「ああ、しかしお前の選べるカードは一枚だけだった……」
『でも、あんたは左のカードを----ボクが選ばなかったカードのうち一枚を開いて見せた。
　それはハートじゃなかった。だからボクは左のカードを選ばなくてよくなった。
　二枚のカードのどちらかがハートである確率が三分の二で、左のカードがハートじゃないなら
　右のカードがハートである確率は三分の二だ。つまり真ん中のカードを選ぶより、当たる確率は二倍なんだ』

チャリスバージョンの確率計算 †

分りやすく中央がアタリ、出題者は左を選択するケースのみを考える。他のケースも考え方は同じ。

上記から出題者が左のハズレのカードをめくった後のみを抜き出す。

無条件で負けてしまうケースがあるのでチャリスの全体的な勝率は2/6=1/3。
第1関門通過後の勝率は全体として2/4=1/2。チェンジする場合もしない場合も勝率は同じく1/2。
オリジナルのモンティーホール・ジレンマとチャリスバージョンの違いは、チャリスの場合は出題者の
開くカードがあらかじめ決まっている点。チャリスがたまたまこのカードを最初に選んでしまうと負けに
なるので、チャリスの勝率が大きく減っている。

チャリスの考えは正しかったか？ †

チャリスの

二枚のカードのどちらかがハートである確率が三分の二で、左のカードがハートじゃないなら
右のカードがハートである確率は三分の二だ。つまり真ん中のカードを選ぶより、当たる確率は二倍なんだ』

この判断は間違い。どちらを選択しようと勝率は1/2だから正しい選択（有利な選択）というものはない。
チャリスが負けたのは単純に勝率1/2の賭けにまけただけ。
モンティーホールと同じに考えて選択を変えた方が有利だと判断した判断自体は間違っている。